编者按：今年10月28日，是国际数学大师陈省身先生诞辰110周年，近日，海内外专家学者、南开师生校友纷纷以不同形式纪念陈先生。南开大学原校长、数学教授侯自新有感于陈省身先生诞辰110周年，特撰此文。侯自新教授认为，努力去做“好”的数学，就是牢记先生嘱托，争取早日把我国建设成为数学强国的重要实践。他回忆陈省身先生在不同场合多次提及“好”的数学的讲话，总结提出自己的理解及建议：大凡“好”的数学都有内蕴深厚，外延广泛这样的特征；对于每个数学工作者来说，都要努力提高自己的数学鉴赏能力，以便能够识别“好”与“不好”的数学；对于年轻数学工作者来说，有了一定基础之后，可以像先生所说的那样，“不妨‘狂妄’一些，开创新的方向”。南开新闻网特予全文刊载，以飨读者。
做“好”的数学
——纪念陈省身先生诞辰110周年有感
侯自新
今年是陈省身先生诞辰110周年，近日南开大学、清华大学等纷纷举行了隆重的纪念活动，一致表示要继承先生的科学精神和爱国情结，努力把中国建设成为数学强国。那么如何才能尽快把我国建设成为数学强国呢？我不由想起陈省身先生1985年在南开数学研究所成立时说的一句话：要做“好”的数学。当时他是这样讲的：
就数学而言，中国有光荣的历史，但是没有产生像阿基米德、牛顿、高斯那样有伟大影响的数学家。中国近代数学的研究起步较晚，需要努力工作才能赶上。建立南开数学所，就是希望为全国在数学方面愿意且能够工作的人创造一个可以愉快地潜心工作的环境，让青年人知道有“好”的数学和“不好”的数学之分，从年轻时就懂得欣赏“好”的数学。希望中国数学界在经过了解他人工作这个阶段后不妨“狂妄”一些，自己开创新的方向。
限于先生当时讲话的情景，他对于“好”与“不好”并没有做较多地解释，只是简单地说：“好”的是指有意义，有创新，“不好”的是指仅限于把他人的工作推演一番。之后几年先生先后在不同的场合又多次谈及这个问题。1992年在一次学术讨论会上，先生说：
一个数学家应当了解什么是好的数学，什么是不好的或不太好的数学。有些数学是有开创性的，有发展前途的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，却渐渐变成一种游戏了。
让我们举例来谈一谈。大家也许知道有个拿破仑定理。据说这个定理和拿破仑有点关系。它是说，任何一个三角形，各边上各做等边三角形，然后将三个三角形的重心连接起来，一定是一个等边三角形。各边上的三角形也可朝里面做，于是可以得到两个解。这个数学就不是好的数学，因为它难以有进一步的发展，当然，你做事累了，坐在沙发上愿意想想这个问题，也蛮有意思。这好像是一种游戏，可以解闷。
那么什么是好的数学呢？比方说，解方程就是。搞数学都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同。X2-1=0有实数解，X2+1=0就没有实数解。后来就加进复数，讨论方程的复数解。大家知道的代数基本定理就是n次代数方程有n个复数根。这一问题有很长的历史，当年欧拉就考虑过这个问题，但一直没有证出来。后来还是高斯证出来了，还发现复数和拓扑有关系，有了新的见解。因为复数|z-1|=0就表示复平面上的一个圆周，在这个圆周上就有很多花样。
如果从f(x)=0到解f(x,y)=0,那就进到研究曲线，当然也可能没有解，一个实点也没有。于是花样来了。假如你在f(x,y)=0中把x,y都看成复数，这两个复数相当于四维空间，这就很麻烦，出现了复变函数论中的黎曼曲面。你要用黎曼曲面来表示这个函数，求解原来的方程，那就要用到很多的数学知识。其中最重要的概念是亏格。你把f(x,y)=0的解看成是曲面之后，那么曲面有多少个圈，球面环面等等不同的花样，都和亏格有关。
此外，你也可以有另外的花样，比如f(x,y)=0的系数都假定为整数，你也可以讨论它的整数解，这就很难了。
这段精彩的论述，通过举例的方式形象地解释了什么是“好”的数学。是不是可以这样理解：大凡“好”的数学都有内蕴深厚，外延广泛这样的特征。内蕴深厚，你可以向深处发掘，不断深入找出其深刻内涵，了解其深刻意义；外延广泛，你可以四下搜寻，努力建立起与其他数学知识、概念，其他数学分支甚至与其他学科的联系。
提出一个好的数学问题有的时候甚至比解决它更重要更有意义。1995年先生在上海数学会上的一个演讲中引用法国大数学家拉格朗日的标准:好的数学问题应满足两个条件：一是易懂；二是难攻。这种问题自然相当困难，但又不是无法攻克的。像费马大定理、哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、三体问题等等。这些问题大多至今仍未完全解决，但是在试图解决它们的过程中发展了大量的数学工具，有力地推动了数学的发展。当然要攻克这种难题需要很强的功力、长期的积累以及坚持不懈的精神，我们也不是倡导大家都去做这种问题，我们反对的是急功近利，尽去做那些“照猫画虎”、简单的推广之类的东西。
好的数学问题往往都是大师们提出来的。比如：希尔伯特在1900年国际数学家大会上提出的23个数学问题，影响了二十世纪整整一个世纪数学的发展。他们所以能够提出这样的问题在于他们对数学理解的深度和广度。对于每个数学工作者来说，都要努力提高自己的数学鉴赏能力，以便能够识别“好”与“不好”的数学。扩大数学视野是提高数学鉴赏能力的有效手段，不要只限于自己从事或熟悉的领域，可以通过博览群书、多听各类学术讲座等方式扩大自己的学术视野。陈省身数学所的数学图书馆藏书丰富，有很好的阅览厅，可以积极利用这个有利条件。当然现在在网上查资料很方便，但是这并不能替代在图书馆读书。学院和数学所每年都举办大量的学术讲座，但是不少精彩的讲座听众不多。有些讲座可能听不太懂，这很正常，但是你能知道他们在做什么，主要使用什么工具就够了。随着知识的积累和阅历的加深，能够听懂和理解的东西就越多，数学鉴赏能力就随之提高。数学鉴赏能力提高了，你就能够结合你自己的特长去选择适合你的“好”的数学问题去开展研究，就有可能取得事半功倍的效果。
对于年轻数学工作者来说，在你们有了一定基础之后，可以像先生所说的那样，“不妨‘狂妄’一些，开创新的方向”。先生这样讲，就是鼓励我们走自己的路，用现在时髦的话语说，就是要实现0到1的创新。现在的主流数学都是别人开创的，但是主流数学不是一成不变的。先生当年从事微分几何研究，有大数学家说：这个学科已经死了。但是先生把微分几何与拓扑学连接起来，做出杰出贡献，将微分几何从研究局部性质为主转变为研究局部性质与整体性质关系，开创了整体微分几何时代，成为新的主流数学。先生在谈及建设数学大国（实际上是指数学强国）时，他强调其目的是追求平等与独立。平等是指与西方在同一起跑线上，互有高低，互有胜负；而独立则是指中国数学不一定与西方数学做同一个方向，但是在相同的水平上。我们的年轻一代应当有这样的追求！
陈省身先生离开我们已经快十七年了。在先生逝世前，心脏病发作的那一天（2004年11月29日）傍晚，数学所吕宏海老师打电话告诉我：先生住院了，医生说情况不太好。我立即赶往总医院了解情况并看望先生。那时先生还很清醒，和我聊了一小会儿，其中他讲了一句话：“数学所新大楼快盖好了，其实大楼并不重要，要紧的是要做‘好’的数学。”后来先生的病情就恶化了，因此做“好”的数学也可以看作是先生的临终嘱托。今天在我们纪念先生诞辰110周年的时候，大家一定要牢记先生的嘱托，努力去做“好”的数学，争取早日把我国建设成为数学强国。
2021年11月1日
